Question

20．设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y-2=0与圆（x-1）²+（y-1）²=1相切，则m+n的取值范围是（　　）

• A． [2-2$\sqrt{2}$，2+2$\sqrt{2}$]
• B． （-∞，2-2$\sqrt{2}$]∪[2+2$\sqrt{2}$，+∞）
• C． [1-$\sqrt{3}$，1+$\sqrt{3}$]
• D． （-∞，1-$\sqrt{3}$}∪[1+$\sqrt{3}$，+∞）

Answer 1

分析 根据题意可得圆心（1，1）到直线（m+1）x+（n+1）y-2=0的距离等于半径，整理得mn=m+n+1，由mn≤$（\frac{m+n}{2}）^{2}$求得m+n的范围．

解答 解：由直线与圆相切，可得圆心（1，1）到直线（m+1）x+（n+1）y-2=0的距离等于半径，
即$\frac{|m+1+n+1-2|}{\sqrt{（m+1）^{2}+（n+1）^{2}}}$=1，
整理得mn=m+n+1，由mn≤$（\frac{m+n}{2}）^{2}$可知，m+n+1≤$\frac{1}{4}（m+n）^{2}$，
解得m+n∈（-∞，2-2$\sqrt{2}$]∪[2+2$\sqrt{2}$，+∞），
故选：B．

点评 本题主要考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式以及基本不等式的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．