Question

如图，MN⊥x轴，点P在线段MN上，且|MN|=|PN|，当点M在圆x²+y²=6上运动时，动点P的轨迹是曲线C.

（1）求曲线C的方程；

（2）过点F（2，0）作斜率为k的直线l与曲线C交于A、B两点，若∠AOB为锐角，求实数k的取值范围.

Answer 1

解：（1）设P(x,y),依题意点M（x，y）在圆x²+y²=6上.                       ?

∴x²+3y²=6，即曲线C的方程为.                                                         ?

（2）方法一：因为直线l的斜率为k，所以可设方程为y=k(x-2),?

把直线l的方程代入曲线C方程得?

（1+3k²）x²-12k²x+12k²-6=0.                                                                                  ?

记A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则y₁=k(x₁-2),y₂=k(x₂-2).?

x₁+x₂=,x₁x₂=.?

y₁y₂=k²［x₁x₂-2(x₁+x₂)+4］=k²(-+4)=.                              ?

∵∠AOB为锐角,∴·=x₁x₂+y₁y₂=＞0.?

解得k＜-,或k＞.                                                                                           ?

又Δ=144k⁴-4(1+3k²)(12k²-6)=24k²+24＞0恒成立，与的方向不同.?

所以实数k的取值范围是k＜-，或k＞.                                                  ?

方法二：同方法一得到y₁y₂=.                                                                     ?

因为∠AOB为锐角，所以?

cos∠AOB=＞0.?

∵|OA|²=x₁²+y₁²,|OB|²=x₂²+y₂,|AB|²=(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²,?

∴x₁²+y₁²+x₂²+y₂²-［(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²］=2(x₁x₂+y₁y₂)＞0,即x₁x₂+y₁y₂=＞0.?

解得k＜-,或k＞.                                                                                           ?

又Δ=144k⁴-4(1+3k²)(12k²-6)=24k²+24＞0恒成立，

所以实数k的取值范围是k＜-，或k＞.