Question

如图，某市新体育公园的中心广场平面图如图所示，在y轴左侧的观光道曲线段是函数，时的图象且最高点B（-1，4），在y轴右侧的曲线段是以CO为直径的半圆弧. ⑴试确定A，和的值；⑵现要在右侧的半圆中修建一条步行道CDO（单位：米），在点C与半圆弧上的一点D之间设计为直线段（造价为2万元/米），从D到点O之间设计为沿半圆弧的弧形（造价为1万元/米）．设(弧度)，试用来表示修建步行道的造价预算，并求造价预算的最大值？（注：只考虑步行道的长度，不考虑步行道的宽度）

 

 

Answer 1

（1）,，；（2）造价预算，，造价预算最大值为（）万元.

【解析】

试题分析：（1）此小题实质是考查利用三角函数图像求三角解析式问题，由最高点B的坐标可求得A的值，又四分之一周期为3，易求得，在此情况下，把B点坐标代入三角解析式中可求得；（2）本小题中步行道分两部分组成，（如图）一部分在扇形中利用弧长公式：求得，另一部分在中利用直角三角形的边角关系求得，两项相加可得关于的造价预算函数，再用导数工具求得其最值.

试题解析：⑴因为最高点B（-1，4），所以A=4；又，所以，因为，代入点B（-1，4），，又；⑵由⑴可知：，得点C即，取CO中点F，连结DF，因为弧CD为半圆弧，所以，即 ，则圆弧段造价预算为万元，中，，则直线段CD造价预算为万元，所以步行道造价预算，．由得当时，，当时，，即在上单调递增；当时，，即在上单调递减，所以在时取极大值，也即造价预算最大值为（）万元．

（图）

 

考点：利用三角函数图像求三角解析式问题，导数求函数最值问题（要关注函数定义域），数形结合思想.