Question

7．若不等式（-1）ⁿa＜2+$\frac{1}{n}$（-1）ⁿ⁺¹对?n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是[-2，$\frac{3}{2}$]．

Answer 1

分析 若n为正奇数，-a＜2+$\frac{1}{n}$恒成立?-a＜（2+$\frac{1}{n}$）_min，可解得：a≥-2；若n为正偶数，a＜2-$\frac{1}{n}$恒成立?-a＜（2-$\frac{1}{n}$）_min，利用函数的单调性可得a≤$\frac{3}{2}$．从而可得答案．

解答 解：若n为正奇数，则-a＜2+$\frac{1}{n}$恒成立?-a＜（2+$\frac{1}{n}$）_min，由于y=2+$\frac{1}{n}$为减函数，当n→+∞时，y→0，故-a≤2，解得：a≥-2；
若n为正偶数，则a＜2-$\frac{1}{n}$恒成立?-a＜（2-$\frac{1}{n}$）_min，由于y=2-$\frac{1}{n}$为增函数，当n=2时，y=2-$\frac{1}{n}$取得最小值（2-$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{2}$，故a≤$\frac{3}{2}$．
因为不等式（-1）ⁿa＜2+$\frac{1}{n}$（-1）ⁿ⁺¹对?n∈N*恒成立，
所以，-2≤a≤$\frac{3}{2}$．
故答案为：[-2，$\frac{3}{2}$]．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，考查逻辑思维能力与运算求解能力，属于难题．