Question

已知函数，其中，…为自然对数的底数．(1)设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；

(2)若，函数在区间内有零点，证明：.

Answer 1

 [解析] (1)由，得，所以

当]时，．

当时，，所以在上单调递增，因此；

当时，，所以在上单调递减，因此；

当时，令，得，

所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

于是，在上的最小值是.

综上所述，当时，在上的最小值是；

当时，在上的最小值是；

当时，在上的最小值是.

(2)证明：设为在区间内的一个零点，则由可知，

在区间上不可能单调递增，也不可能单调递减．

则不可能恒为正，也不可能恒为负．故在区间)内存在零点x₁.

同理在区间内存在零点x₂.故在区间)内至少有两个零点．

由(1)知，当时，在上单调递增，故在内至多有一个零点；

当时，在上单调递减，故在内至多有一个零点，不合题意．

所以.

此时在区间上单调递减，在区间上单调递增．

因此，必有

由，有，

解得所以，函数在区间(0，1)内有零点时，.