Question

如图，F1、F2是椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点，点M在x轴上，且＝，过点F2的直线与椭圆交于A、B两点，且AM⊥x轴，·＝0.

(1)求椭圆的离心率；

(2)若△ABF1的周长为，求椭圆的方程．

 

Answer 1

（1）（2）＝1.

【解析】(1)设F1(－c，0)，F2(c，0)，A(x0，y0)，椭圆的离心率为e，则M，x0＝c.

∵＝e，∴|AF1|＝a＋ex0.同理，|AF2|＝a－ex0.

∵·＝0，∴AF1⊥AF2，∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，

∴(a＋ex0)2＋(a－ex0)2＝4c2,即a2＋e2＝2c2.

∵x0＝c，∴a2＋e2·c2＝2c2,∴1＋e4＝2e2，即3e4－8e2＋4＝0，

∴e2＝或2(舍)，∴椭圆的离心率e＝.

(2)∵△ABF2的周长为4，∴4a＝4，∴a＝.又＝，∴c＝2,∴b2＝2.

∴椭圆方程为＝1.