Question

已知椭圆C：＝1(a>b>0)，点A、B分别是椭圆C的左顶点和上顶点，直线AB与圆G：x2＋y2＝(c是椭圆的半焦距)相离，P是直线AB上一动点，过点P作圆G的两切线，切点分别为M、N.

(1)若椭圆C经过两点、，求椭圆C的方程；

(2)当c为定值时，求证：直线MN经过一定点E，并求·的值(O是坐标原点)；

(3)若存在点P使得△PMN为正三角形，试求椭圆离心率的取值范围．.

 

Answer 1

（1）＝1.（2）见解析（3）

【解析】(1)【解析】
令椭圆mx2＋ny2＝1，其中m＝，n＝，得所以m＝，n＝，即椭圆方程为＝1.

(2)证明：直线AB：＝1，设点P(x0，y0)，则OP的中点为，所以点O、M、P、N所在的圆的方程为＝，化简为x2－x0x＋y2－y0y＝0，与圆x2＋y2＝作差，即直线MN：x0x＋y0y＝.

因为点P(x0，y0)在直线AB上，得＝1，

所以x0 ＋＝0，即

得x＝－，y＝，故定点E ，·＝＝.

(3)【解析】
由直线AB与圆G：x2＋y2＝ (c是椭圆的焦半距)相离，则＞，即4a2b2＞c2(a2＋b2)，4a2(a2－c2)＞c2(2a2－c2)，得e4－6e2＋4＞0.因为0＜e＜1，所以0＜e2＜3－　①.连结ON、OM、OP，若存在点P使△PMN为正三角形，则在Rt△OPN中，OP＝2ON＝2r＝c，所以≤c，a2b2≤c2(a2＋b2)，a2(a2－c2)≤c2(2a2－c2)，得e4－3e2＋1≤0.因为0＜e＜1，所以≤e2＜1，②.由①②得≤e2＜3－，所以