【题目】已知抛物线(
)的焦点为
,以抛物线上一动点
为圆心的圆经过点F.若圆
的面积最小值为
.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)当点的横坐标为1且位于第一象限时,过
作抛物线的两条弦
,且满足
.若直线AB恰好与圆
相切,求直线AB的方程.
【答案】(1);(2)
.
【解析】分析:(Ⅰ)由抛物线的性质知,当圆心位于抛物线的顶点时,圆
的面积最小,由
可得
的值;(Ⅱ)依横坐标相等可得,
轴,
,设
(
),则直线
的方程为
,代入抛物线的方程得,利用韦达定理求出
的坐标,同理求出
的坐标,求出
的斜率为定值
,设直线
的方程为
,由圆心到直线的距离等于半径,列方程解得
,从而可得直线
的方程.
详解:(Ⅰ)由抛物线的性质知,当圆心位于抛物线的顶点时,圆
的面积最小,
此时圆的半径为,∴
,解得
.
(Ⅱ)依题意得,点的坐标为(1,2),圆
的半径为2.
由(1,0)知,
轴.
由知,弦
,
所在直线的倾斜角互补,∴
.
设(
),则直线
的方程为
,∴
,
代入抛物线的方程得,,∴
,
∴.
将换成
,得
,
∴.
设直线的方程为
,即
.
由直线与圆
相切得,
,解得
.
经检验不符合要求,故
舍去.
∴所求直线的方程为
.
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【题目】已知椭圆的右焦点为
,点
为椭圆
上的动点,若
的最大值和最小值分别为
和
.
(I)求椭圆的方程
(Ⅱ)设不过原点的直线与椭圆
交于
两点,若直线
的斜率依次成等比数列,求
面积的最大值
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【题目】在四棱锥中,底面
是正方形,顶点
在底面的射影是底面的中心,且各顶点都在同一球面上,若该四棱锥的侧棱长为
,体积为4,且四棱锥的高为整数,则此球的半径等于( )(参考公式:
)
A. 2B. C. 4D.
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【题目】已知函数,
,其中
且
,
为自然对数的底数.
(1)求函数的单调区间和极值;
(2)是否存在,对任意的
,任意的
,都有
?若存在,求出
的取值范围;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知椭圆的上、下焦点分别为
,上焦点
到直线
的距离为3,椭圆
的离心率
.
(1)求椭圆的方程;
(2)椭圆,设过点
斜率存在且不为0的直线交椭圆
于
两点,试问
轴上是否存在点
,使得
?若存在,求出点
的坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】已知顶点是坐标原点的抛物线的焦点
在
轴正半轴上,圆心在直线
上的圆
与
轴相切,且
关于点
对称.
(1)求和
的标准方程;
(2)过点的直线
与
交于
,与
交于
,求证:
.
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