【题目】已知函数,
,其中
且
,
为自然对数的底数.
(1)求函数的单调区间和极值;
(2)是否存在,对任意的
,任意的
,都有
?若存在,求出
的取值范围;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)当时,函数
的单调递减区间是
,单调递增区间是
,
,
,无极小值;
当时,函数
的单调递减区间是
,
,单调递增区间是
,
,无极大值.
(2)存在
满足题意.
【解析】
(1)求出导数,分和
讨论函数的单调区间和极值.
(2)由题意可得,利用导数求出
和
,解关于
的不等式即可.
(1)(
且
).
当时,由
可得
且
;由
可得
,
函数
的单调递减区间是
,单调递增区间是
,
,
,无极小值.
当时,由
可得
;由
可得
且
,
函数
的单调递减区间是
,
,单调递增区间是
,
,无极大值.
综上,当时,函数
的单调递减区间是
,单调递增区间是
,
,
,无极小值;
当时,函数
的单调递减区间是
,
,单调递增区间是
,
,无极大值.
(2)由题意,只需.
由(1)知当,
时,
函数在
上单调递减,在
上单调递增,
故.
,
.
当,
时,
由可得
;由
可得
.
函数
在
上单调递增,在
上单调递减,
.
故,不等式两边同乘以
,得
,
故.
,
.
存在
满足题意.
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【题目】祖暅原理:两个等高的几何体,若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等.利用祖暅原理可以求旋转体的体积.比如:设半圆方程为,半圆与
轴正半轴交于点
,作直线
,
交于点
,连接
(
为原点),利用祖暅原理可得:半圆绕
轴旋转所得半球的体积与
绕
轴旋转一周形成的几何体的体积相等.类比这个方法,可得半椭圆
绕
轴旋转一周形成的几何体的体积是_________.
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【题目】在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:的离心率为
,且过点 (
,
),点 P 在第四象限, A 为左顶点, B 为上顶点, PA 交 y 轴于点 C,PB 交 x 轴于点 D.
(1) 求椭圆 C 的标准方程;
(2) 求 △PCD 面积的最大值.
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【题目】已知函数(
为自然对数的底数).
(Ⅰ)若函数的图象在
处的切线为
,当实数
变化时,求证:直线
经过定点;
(Ⅱ)若函数有两个极值点,求实数
的取值范围.
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【题目】已知抛物线(
)的焦点为
,以抛物线上一动点
为圆心的圆经过点F.若圆
的面积最小值为
.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)当点的横坐标为1且位于第一象限时,过
作抛物线的两条弦
,且满足
.若直线AB恰好与圆
相切,求直线AB的方程.
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【题目】如图,“大衍数列”:来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.下图是求大衍数列前
项和的程序框图.执行该程序框图,输入
,则输出的
( )
A. 64 B. 68 C. 100 D. 140
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【题目】学校艺术节对同一类的四项参赛作品,只评一项一等奖,在评奖揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:
甲说:“或
作品获得一等奖”;
乙说:“作品获得一等奖”;
丙说:“,
两项作品未获得一等奖”;
丁说:“作品获得一等奖”.
若这四位同学只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是( )
A. B.
C.
D.
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【题目】(2016高考新课标II,理15)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是________.
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