Question

【题目】已知函数(为自然对数的底数).

(Ⅰ)若函数的图象在处的切线为，当实数变化时，求证：直线经过定点；

(Ⅱ)若函数有两个极值点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)见解析. (2).

【解析】分析：(Ⅰ)利用导数求出切线斜率，点斜式可得切线方程为直线的方程为，可得直线经过定点；(Ⅱ)分两种情况讨论的范围，函数有两个极值点等价于有两个不同的解，分别利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理与函数图象，列不等式可筛选出函数有两个极值点的实数的取值范围.

详解：(Ⅰ)∵，∴，.

又∵，∴直线的方程为，

∴直线经过定点(-2，0).

(Ⅱ)∵，∴.

设，则.

当时，，即在上单调递增，则最多有一个零点，函数至多有一个极值点，与条件不符；

当时，由，得.

当时，；当时，.

∴在上单调递增，在上单调递减，

∴，即.

令，解得.

∵，，∴，

∵在上单调递增，∴在上有唯一零点，

当时，；当时，.

∴在上有唯一极值点.

又∵当时，.

设，其中，则，

∴，∴.

即当时，，

而 ，

∵在上单调递减，∴在上有唯一零点，

当时，；当时，.

∴在上有唯一极值点.

综上所述，当有两个极值点时，.