Question

【题目】在四棱锥中，底面是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心，且各顶点都在同一球面上，若该四棱锥的侧棱长为，体积为4，且四棱锥的高为整数，则此球的半径等于（参考公式：）（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

根据题意画出图形，设底面正方形的中心为，四棱锥的外接球的球心为，半径为，设底面正方形的边长为，四凌锥的高为，根据题意列出关于和的方程，进一步由勾股定理，即可求解.

如图所示，设底面正方形的中心为，四棱锥的外接球的球心为，半径为.

设底面正方形的边长为，四凌锥的高为，则，

因为该四棱锥的侧棱长为，所以，即……①

又因为四棱锥的体积为4，所以 ……②

由①得，代入②得，配凑得，

则，即，

得或，因为，所以.

再将回代入①中，解得，所以，所以.在中，由勾股定理，得，即，

解得，所以此球的半径等于.

故选D.