Question

【题目】已知椭圆经过点，离心率为．

（）求椭圆的方程．

（）直线与椭圆交于，两点，点是椭圆的右顶点．直线与直线分别与轴交于点，两点，试问在轴上是否存在一个定点使得?若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）椭圆的方程是；（2）线段为直径的圆过轴上的定点．

【解析】

试题

（Ⅰ）由题意结合椭圆所过的点和椭圆的离心率可求得，.则椭圆的方程为.

（Ⅱ）设存在定点使得.联立直线方程与椭圆方程可得.设,结合韦达定理有直线的方程为:,则,直线的方程为:,则.由向量垂直的 充要条件有，据此求解关于n的方程可得.则存在定点使得.

试题解析：

（Ⅰ）由题意可知,又,即,.

解得,即.

所以.

所以椭圆的方程为.

（Ⅱ）设存在定点使得.

由得.

设,则.

因为,所以直线的方程为:,则,

直线的方程为:,则.

则有,,由得

,整理得,故.

所以存在定点使得.