Question

1．如图，在平行四边形ABCD中，AB=1，BC=2，∠CBA=$\frac{π}{3}$，ABEF为直角梯形，BE∥AF，∠BAF=$\frac{π}{2}$，BE=2，AF=3，平面ABCD⊥平面ABEF．
（1）求证：AC⊥平面ABEF；
（2）求三棱锥D-AEF的体积．

Answer 1

分析 （1）证明AC⊥AB，利用平面ABCD⊥平面ABEF，根据面面垂直的性质定理即可证明AC⊥平面ABEF；
（2）由（1）可知，AC是三棱锥D-AEF的高，利用体积公式求三棱锥D-AEF的体积．

解答 （1）证明：∵AB=1，BC=2，∠CBA=$\frac{π}{3}$，
∴AC²=AB²+BC²-2AB•BCcos$\frac{π}{3}$=1+4-2×2×1×$\frac{1}{2}$=3，
则AC=$\sqrt{3}$，满足BC²=AB²+AC²，
即△CAB是直角三角形，AC⊥AB，
∵平面ABCD⊥平面ABEF，AC?平面ABCD，平面ABCD∩平面ABEF=AB，
∴AC⊥平面ABEF；
（2）解：由（1）可知，AC是三棱锥D-AEF的高，
∵S_△AEF=$\frac{1}{2}×3×1$=$\frac{3}{2}$，
∴三棱锥D-AEF的体积V=$\frac{1}{3}×\frac{3}{2}×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查面面垂直的性质定理，线面垂直的证明，考查三棱锥D-AEF的体积，正确运用面面垂直的性质定理是关键．