Question

已知数列{a_n} 的前n项和为S_n，且S_n=n²．数列{b_n}为等比数列，且b₁=1，b₄=8．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{c_n}满足c_n=，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）∵数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．
当n=1时，a₁=S₁=1满足上式，故a_n=2n-1
又 数列{b_n}为等比数列，设公比为q，
∵b₁=1，b₄=b₁q³=8，∴q=2．
∴b_n=2^n-1
（Ⅱ）=2ⁿ-1．
T_n=c₁+c₂+…+c_n=（2-1）+（2²-1）+…+（2ⁿ-1）
=（2+2²+…+2ⁿ）-n=2ⁿ⁺¹-2-n
分析：（Ⅰ）利用递推公式可求当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，当n=1时，a₁=S₁=1可求a_n
由 数列{b_n}为等比数列，设公比为q，及b₁=1，b₄=b₁q³=8，可求q，进而可求b_n
（Ⅱ）由题意可得，=2ⁿ-1．结合数列的特点可考虑利用分组求和，结合等差数列及等比数列的求和公式可求
点评：本题主要考查了利用递推公式n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，当n=1时，a₁=S₁求解数列的通项公式，等差数列及等比数列的通项公式及求和公式的应用．