Question

如图，直线y=x+b与椭圆

x2

4

+y²=1交于A、B两点．
（1）若点P（m，n）为弦AB的中点，且m+n=3，求b的值；
（2）记△AOB的面积为S，当S=1时，求直线AB的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用点差法求出k=

y1-y2

x1-x2

=-

2m

8n

=1，从而求出P（4，-1），代入直线y=x+b，求出b．
（2）联立

x2 4 +y2=1 y=x+b

，得5x²+8bx+4b²-4=0，由此利用韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式能求出直线AB的方程．

解答： 解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵点P（m，n）为弦AB的中点，且m+n=3，①
∴x₁+x₂=2m，y₁+y₂=2n，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入椭圆

x2

4

+y²=1，得：

x12 4 +y12=1 x22 4 +y22=1

，
两式相减，得（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴2m（x₁-x₂）+8n（y₁-y₂）=0，
∴k=

y1-y2

x1-x2

=-

2m

8n

=1，
∴m=-4n，②
由①②，得m=4，n=-1，
∴P（4，-1），代入直线y=x+b，得-1=4+b，
解得b=-5．
（2）联立

x2 4 +y2=1 y=x+b

，得5x²+8bx+4b²-4=0，
x1+x2=-

8b

5

，x₁x₂=

4b2-4

5

，
∴|AB|=

2

•

(- 8b 5 )2-4× 4b2-4 5

=

4 2

5

5-b2

，
原点O（0，0）到直线y=x+b的距离d=

|b|

2

，
∵△AOB的面积S=1，
∴

1

2

×

|b|

2

×

4 2

5

5-b2

=1，
解得b=±

10

2

，
∴直线AB的方程为y=x±

10

2

．

点评：本题考查实数值的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意点差法、韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式的合理运用．