Question

数列{a_n}是公比大于1的等比数列，S_n为数列{a_n}的前n项和，已知S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4成等差数列．   
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令数列{b_n}满足b_n=lna_3n+1，记数列{b_n}的前n项和为T_n，求：

ln2

T1

+

ln2

T2

+…+

ln2

Tn

．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）首先根据条件建立关系式，进一步求出数列的通项公式．
（2）根据（1）的结论求出相关的通项公式，进一步利用裂项相消法求数列的和．

解答： 解：S_n为数列{a_n}的前n项和，已知S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4成等差数列．
则：

a1+a2+a3=7 (a1+3)+(a2+4) 2 =3a2

解得：a₂=2
设等比数列的公比为q
则：

2

q

+2+2q=7
解得：q=2或

1

2

由于q＞1
故q=2
所以：an=2n-1
（2）令数列{b_n}满足b_n=lna_3n+1，
bn=ln23n=3nln2
由于b_n+1-b_n=3ln2
所以{b_n}是等差数列．
记数列{b_n}的前n项和为Tn=

n(b1+bn)

2

=

3n(n+1)ln2

2

所以：

ln2

Tn

=

ln2

3n(n+1)ln2 2

=

2

3

(

1

n

-

1

n+1

)
Sn=

ln2

T1

+

ln2

T2

+…+

ln2

Tn

=

2

3

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=

2n

3n+3

点评：本题考查的知识要点：数列通项公式的求法，数列的求和．属于基础题型