Question

已知：等差数列{a_n}中，a₁=1，S₃=9，其前n项和为S_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

2n

(n+1)Sn

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件利用等差数列的通项公式和前n项和公式能求出d=2，由此能求出a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（2）由S_n=n+

n(n-1)

2

×2=n²，得b_n=

2n

(n+1)Sn

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），由此利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）∵等差数列{a_n}中，a₁=1，S₃=9，
∴

a1=1 3a1+3d=9

，解得d=2，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（2）∵a₁=1，d=2，
∴S_n=n+

n(n-1)

2

×2=n²，
∴b_n=

2n

(n+1)Sn

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
∴T_n=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=2（1-

1

n+1

）
=

2n

n+1

．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．