Question

已知动点M与F（1，0）的距离比它到直线l：x+3=0的距离小2，设M的轨迹为G，正项数列{a_n}满足a₁=2，且（a_n，

2an+1

）在曲线G上，则数列{a_n}的通项公式为（　　）

• A、a_n=2ⁿ
• B、a_n=2^n-1
• C、a_n=2n+1
• D、a_n=2-1

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：综合题,等差数列与等比数列,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先利用抛物线的定义，可得M的轨迹为抛物线，方程为y²=4x，利用（a_n，

2an+1

）在曲线G上，可得a_n+1=2a_n，
进而可求数列{a_n}的通项公式．

解答： 解：∵动点M与F（1，0）的距离比它到直线l：x+3=0的距离小2，
∴动点M与F（1，0）的距离等于它到直线l：x=-1的距离，
∴M的轨迹为抛物线，方程为y²=4x．
∵（a_n，

2an+1

）在曲线G上，
∴a_n+1=2a_n，
∵正项数列{a_n}满足a₁=2，
∴数列{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴a_n=2ⁿ．
故选：A．

点评：本题考查抛物线的定义，考查等比数列的定义域通项，考查学生的计算能力，属于中档题．