Question

已知函数g（x）=ax²-4ax+b（a＞0）在区间[0，1]上有最大值1和最小值-2，设f（x）=

g(x)

x

．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并证明你的结论；
（Ⅲ）若不等式f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-2，2]上有解，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据函数g（x）=ax²-4ax+b（a＞0）在区间[0，1]上为减函数，且有最大值1和最小值-2，故可建立方程组，从而可求a、b的值；
（Ⅱ）利用导数判断并证明f（x）在区间（1，+∞）上的单调递增．
（Ⅲ）不等式f（2^x）-k•2^x≥0可化为：2^x+

1

2x

-4-k•2^x≥0，即k≤1+(

1

2x

)2-4•(

1

2x

) ，利用换元法，结合二次函数的图象和性质，求出1+(

1

2x

)2-4•(

1

2x

) 的最小值，可得答案．

解答： 解：（Ⅰ）g（x）=ax²-4ax+b（a＞0）的图象是开口朝上，且以直线x=2为对称轴的抛物线，
故函数g（x）=ax²-4ax+b（a＞0）在区间[0，1]上为减函数，
∵函数g（x）=ax²-4ax+b（a＞0）在区间[0，1]上有最大值1和最小值-2，
∴

g(0)=1 g(1)=-2

解得a=1，b=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：g（x）=x²-4x+1，f（x）=

g(x)

x

=x+

1

x

-4，
∴f′（x）=1-

1

x2

，
∵x∈（1，+∞），
∴f′（x）＞0，
∴f（x）在区间（1，+∞）上的单调递增．
（Ⅲ）不等式f（2^x）-k•2^x≥0可化为：2^x+

1

2x

-4-k•2^x≥0，
即k≤1+(

1

2x

)2-4•(

1

2x

) ，
令t=

1

2x

，
∵x∈[-2，2]，
∴t∈[

1

4

，4]，
令h（t）=t²-4t+1，t∈[

1

4

，4]，
∴h（t）∈[-3，1]，
∴k≤1．
故所以k的取值范围是k≤1

点评：本题考查了恒成立问题，考查了二次函数的性质，训练了利用二次函数的单调性求最值，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键在于把不等式在闭区间上有解转化为分离变量后的参数k小于等于函数在闭区间上的最大值，是学生难以想到的地方，是难题．