Question

在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），过点P（-2，-4）的直线l的参数方程为

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

（t为参数），l与C分别交于M，N．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程,参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）利用极坐标与普通方程的关系式，可得C为抛物线方程，消去参数t，可得直线l的方程；
（2）由|PM|=|t₁|，|MN|=|t₁-t₂|，|PN|=|t₂|成等比数列，可转化为关于a的等量关系求解．

解答： 解：（Ⅰ）曲线C：ρsin²θ=2acosθ，可得ρ²sin²θ=2aρcosθ，它的直角坐标方程为y²=2ax（a＞0）；

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

，消去t，可得x-y-2=0，
直线l的普通方程为x-y-2=0．                      4分
（Ⅱ）将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立，得
t²-2（4+a）

2

t+8（4+a）=0  （*）
△=8a（4+a）＞0．
设点M，N分别对应参数t₁，t₂，恰为上述方程的根．
则|PM|=|t₁|，|PN|=|t₂|，|MN|=|t₁-t₂|．
由题设得（t₁-t₂）²=|t₁t₂|，即（t₁+t₂）²-4t₁t₂=|t₁t₂|．
由（*）得t₁+t₂=2（4+a）

2

，t₁t₂=8（4+a）＞0，则有
（4+a）²-5（4+a）=0，得a=1，或a=-4．
因为a＞0，所以a=1．                            10分

点评：本题考查参数方程与极坐标的应用，基本知识的考查．