Question

已知函数f（x）=lg（10^x-1）
（1）求f（x）=lg（10^x-1）的反函数；
（2）若方程f^-1（2x）=λ+f（x）总有实根，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：反函数,函数的零点与方程根的关系

专题：函数的性质及应用

分析：本题（1）先将函数y=lg（10^x-1）的形式转化为用“y”表示“x”，再将字母“x”与“y”互相对调，得到本题结论；（2）将（1）所得的反函数解析式代入到方程f^-1（2x）=λ+f（x）中，参变量分离得λ=lg（10^x+1）-lg（10^x-1），求出函数值域，得实数λ的取值范围，得到本题结论．

解答： 解：（1）∵y=lg（10^x-1），
∴10^y=10^x-1，
∴10^y+1=10^x，
∴x=lg（10^y+1），
∴将字母“x”与“y”互相对调，得到：
y=lg（10^x+1），
即：f^-1（x）=lg（10^x+1）．
（2）由（1）得：f^-1（x）=lg（10^x+1），
∴方程f^-1（2x）=λ+f（x）可转化为：
lg（10^x+1）=λ+lg（10^x-1），
∴λ=lg（10^x+1）-lg（10^x-1），
∴λ=lg

10x+1

10x-1

=lg(1+

2

10x-1

)，
∵10^x-1＞0，
∴1+

2

10x-1

＞1，
∴λ＞1．
∴实数λ的取值范围是（1，+∞）．

点评：本题考查了反函数的求法、函数值域的研究，本题难度不大，属于基础题．