Question

18．在平面直角坐标系中，点P是直线l：x=-1上一动点，点F（1，0），点Q为PF的中点，点M满足MQ⊥PF且$\overrightarrow{MP}$=λ$\overrightarrow{OF}$，过点M作圆（x-3）²+y²=2的切线，切点分别A，B，则|AB|的最小值为（　　）

• A． 3
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
• D． $\sqrt{6}$

Answer 1

分析 由题意首先求出M的轨迹方程，然后在M满足的曲线上设点，只要求曲线上的点到圆心的距离的最小值，即可得到|AB|的最小值．

解答 解：设M（x，y），由$\overrightarrow{MP}$=λ$\overrightarrow{OF}$，得P（-1，y），
由点Q为PF的中点知 Q（0，$\frac{y}{2}$），
又∵QM⊥PF，∴QM、PF斜率乘积为-1，
即$\frac{y-\frac{y}{2}}{x}•\frac{y}{-1-1}=-1$，
得：y²=4x，
∴M的轨迹是抛物线，
设M（y²，2y），到圆心（3，0）的距离为d，d²=（y²-3）²+4y²=y⁴-2y²+9=（y²-1）²+8，
∴y²=1时，d_min=$2\sqrt{2}$，此时的切线长为$\sqrt{8-2}=\sqrt{6}$，
∴|AB|的最小值为2×$\frac{\sqrt{6}×\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$=$\sqrt{6}$．
故选：D．

点评 本题考查了抛物线轨迹方程的求法以及与圆相关的距离的最小值求法，属于中档题．