Question

6．如图，在直三棱柱ABC-A₁BC的底面△ABC中，CA=CB=2，∠BCA=90°，棱AA₁=4，M．N分别是A₁B₁，A₁A的中点．
（1）求证：A₁B⊥C₁M；
（2）设直线BN与平面ABC₁所成的角为θ，求sinθ．

Answer 1

分析 （1）以C为原点建立空间坐标系，求出$\overrightarrow{{A}_{1}B}$和$\overrightarrow{{C}_{1}M}$的坐标，通过计算$\overrightarrow{{A}_{1}B}•\overrightarrow{{C}_{1}M}$=0得出A₁B⊥C₁M；
（2）求出$\overrightarrow{BN}$和平面ABC₁的法向量$\overrightarrow{n}$，计算|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BN}$＞|即为所求．

解答 证明：（1）以C为原点，以CA，CB，CC₁为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则A₁（2，0，4），B（0，2，0），C₁（0，0，4），M（1，1，4）．
∴$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（-2，2，-4），$\overrightarrow{{C}_{1}M}$=（1，1，0）．
∴$\overrightarrow{{A}_{1}B}•\overrightarrow{{C}_{1}M}$=-2×1+2×1+（-4）×0=0．
∴$\overrightarrow{{A}_{1}B}⊥\overrightarrow{{C}_{1}M}$，即A₁B⊥C₁M．
（2）∵N（2，0，2），A（2，0，0）．
∴$\overrightarrow{BN}$=（2，-2，2），$\overrightarrow{AB}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-2，0，4）．
设平面ABC₁的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{C}_{1}}=0}\end{array}\right.$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2x+2y=0}\\{-2x+4z=0}\end{array}\right.$，令z=1，得$\overrightarrow{n}$=（2，2，1）．
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BN}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BN}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{BN}|}$=$\frac{2}{3•2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{9}$．
∴sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{9}$．

点评 本题考查了空间向量的应用，线面角的计算，属于中档题．