Question

14．仙游某家具城生产某种家具每件成本为3万元，每件售价为x万元（x＞3），月销量为t件，经验表明，t=$\frac{a}{x-3}$+10（x-6）²，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5万元时，月销量为11件．
（1）求a的值；
（2）求售价定为多少时，该家具的月利润最大，最大值为多少？

Answer 1

分析 （1）将x，y的值代入方程，求出a的值即可；（2）求出函数表达式，根据函数的单调性，求出函数的极大值和极小值，从而求出函数的最大值，得到答案即可．

解答 解：（1）因为x=5时，y=11，所以$\frac{a}{2}$+10=11，a=2．…（2分）
（2）由（1）可知，该商品每日的销售量y=$\frac{2}{x-3}$+10（x-6）²．
所以该家具的月利润为：
f（x）=（x-3）[$\frac{2}{x-3}$+10（x-6）²]=2+10（x-3）（x-6）²，3＜x＜6．…（5分）
从而，f′（x）=10[（x-6）²+2（x-3）（x-6）]=30（x-4）（x-6）．…（7分）
于是，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（3，4）	4	（4，6）
f′（x）	+	0	-
f（x）	单调递增	极大值42	单调递减

由上表可得，x=4是函数f（x）在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点．
所以，当x=4时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于42．…（11分）
答：当销售价格为4万元时，该家具的月利润最大，最大值等于42万元．…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数模型的建立，是一道中档题．