Question

10．已知函数f（x）=ax²-x+xlnx，其中a∈R．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线x-2y-3=0，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过f′（1）=-2，解得a即可；（Ⅱ）分离参数，问题转化为$a≤\frac{1-lnx}{x}$恒成立，令$g（x）=\frac{1-lnx}{x}$（x＞0），根据函数的单调性判断即可．

解答 解：（I）f′（x）=2ax+lnx，
由题意f′（1）=-2，
得2a=-2，解得a=-1；                     
（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞），
因为f（x）≤0恒成立，
所以ax-1+lnx≤0恒成立，
即$a≤\frac{1-lnx}{x}$恒成立，
令$g（x）=\frac{1-lnx}{x}$（x＞0），
则$g′（x）=\frac{lnx-2}{x^2}$，
由g′（x）＞0得x＞e²；
由g′（x）＜0得0＜x＜e²．
所以g（x）在（0，e²）上单调递减，
在（e²，+∞）上单调递增，
因此g（x）的最小值为$g（{e^2}）=-\frac{1}{e^2}$，
又$a≤\frac{1-lnx}{x}$恒成立，
故$a≤-\frac{1}{e^2}$，
即a的取值范围为$（-∞，-\frac{1}{e^2}]$．

点评 本题考查了曲线的切线问题，考查函数恒成立问题，是一道中档题．