Question

19．已知抛物线y²=-x与直线y=k（x+1）（k≠0）相交于A、B两点，O是坐标原点．
（1）当k=$\sqrt{2}$时，求|AB|的长；
（2）求证无论k为何值都有OA⊥OB．

Answer 1

分析 （1）联立直线方程和抛物线的方程，消去x可得y的方程，求得A，B的坐标，运用两点的距离公式，即可得到所求值；
（2）联立直线方程和抛物线方程，可得y的方程，运用韦达定理，由A，B在抛物线y²=-x上，代入抛物线方程，再由直线的斜率公式，结合两直线垂直的条件：斜率之积为-1，即可得证．

解答 解：（1）由方程组$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=-x\\ y=\sqrt{2}（{x+1}）\end{array}\right.$，
消去x后整理得$\sqrt{2}{y^2}+y-\sqrt{2}=0$，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
解得${y_1}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，{y_2}=-\sqrt{2}$，${x_1}=-\frac{1}{2}，{x_2}=-2$．
可得$|{AB}|=\sqrt{{{（{{x_1}-{x_2}}）}^2}+{{（{{y_1}-{y_2}}）}^2}}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$；
（1）证明：由方程组$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=-x\\ y=k（x+1）\end{array}\right.$，
消去x后整理得ky²+y-k=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由韦达定理，得y₁•y₂=-1，
由A，B在抛物线y²=-x上，
可得$y_1^2=-{x_1}$，$y_2^2=-{x_2}$，$y_1^2•y_2^2={x_1}{x_2}$，
则${k_{OA}}{k_{OB}}=\frac{y_1}{x_1}•\frac{y_2}{x_2}=\frac{{{y_1}•{y_2}}}{{{x_1}•{x_2}}}=\frac{1}{{{y_1}•{y_2}}}=-1$，
即有无论k为何值都有OA⊥OB．

点评 本题考查直线方程和抛物线的方程联立，运用韦达定理，同时考查点满足抛物线的方程，以及直线的斜率公式，两直线垂直的条件：斜率之积为-1，属于中档题．