Question

定义函数(为定义域)图像上的点到坐标原点的距离为函数的的模.若模存在最大值，则称之为函数的长距；若模存在最小值，则称之为函数的短距.
(1)分别判断函数与是否存在长距与短距，若存在，请求出;
(2)求证：指数函数的短距小于1;
(3)对于任意是否存在实数，使得函数的短距不小于2且长距不大于4.若存在，请求出的取值范围；不存在，则说明理由？

Answer 1

（1）短距为，长距不存在，短距为，长距为5；（2）证明见解析；（3）.

解析试题分析：本题属于新定义概念，问题的实质是求函数图象上的点到原点的距离的最大值和最小值（如有的话）,正面讨论时我们把距离表示为的函数.（1）对，（当且仅当时等号成立），因此存在短距为，不存在长距，对，
，，即有最大值也有最小值，因此短距和长距都有；（2）对函数，，由于，因此短距不大于1，令，则有，故当时，存在使得 ，当时，存在使得 ，即证；（3）记，按题意条件，则有不等式对恒成立，这类不等式恒成立求参数取值范围问题，我们可采取分离参数法，转化为求函数的最值，对，，按分别讨论，对，，可得，由此可求得的范围.
试题解析：（1）设（当且仅当取得等号）
短距为，长距不存在．   +2分
设   +3分
    
短距为，长距为5．   +5分
（2）设    
的短距不大于1    +7分
   与单位圆存在两个交点
当时，存在使得 
当时，存在使得 
指数函数的短距小于1;   +10分
（3）设 函数的短距不小于2且长距不大于4 即对于