Question

已知倾斜角为

π

6

，过点P（1，1）的直线l与曲线C：

x=2sinα y=2+2cosα

（α是参数）相交于A，B两点．
（Ⅰ）写出直线l的参数方程和曲线C的普通方程；
（Ⅱ）求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）依题意，得直线l的参数方程为

x=1+tcos π 6 y=1+tsin π 6

（t为参数），利用sin²α+cos²α=1即可把曲线C的参数方程化为普通方程．
（II）把直线的参数方程代入圆的方程可得t2+(

3

-1)t-2=0，再利用根与系数的关系、直线参数的意义即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）依题意，得直线l的参数方程为

x=1+tcos π 6 y=1+tsin π 6

（t为参数），
即

x=1+ 3 2 t y=1+ 1 2 t.

（t为参数）…①
∵曲线C的参数方程为

x=2sinα y=2+2cosα

，
∴曲线C的普通方程为x²+（y-2）²=4．…②
（Ⅱ）把①代入②得(1+

3

2

t)2+(

1

2

t-1)2=4，
∴t2+(

3

-1)t-2=0，
∴△=(

3

-1)2+8＞0，t₁t₂=-2，
∴|PA|•|PB|=|t₁t₂|=2．

点评：本题主要考查直线和圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想和化归与转化思想，属于中档题．