Question

若定义在R上的函数f（x）满足：对任意m，n∈R有f（m+n）=f（m）+f（n）-2，
（1）求证：函数y=f（x）-2为奇函数．
（2）若函数f（x）在R上为增函数，且f（1）=3，解关于x的不等式f（4^x+1）+f（2^x+1）＞8．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的性质,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令g（x）=f（x）-2，则只需证明g（-x）=-g（x）即可；
（2）利用条件“f（m+n）=f（m）+f（n）-2”结合f（1）=3将结论化成f（a）＞f（b）的形式，然后借助于函数的单调性构造出关于x的不等式（组）解之即可．

解答： 解：（1）令m=n=0，代入原式得f（0）=2．
再令m=x，n=-x，代入原式得2=f（x）+f（-x）-2，
整理得f（-x）-2=-[f（x）-2]，
所以函数y=f（x）-2是奇函数．
（2）f（4^x+1）+f（2^x+1）＞8可化为：
f（4^x）+f（1）+f（2^x）+f（1）-4＞8，又f（1）=3，
f（4^x）+f（2^x）-2＞6-2=f（3）+f（3）-2
所以f（4^x+2^x）＞f（6），
由函数f（x）在R上为增函数得：4^x+2^x＞6，
所以（2^x）²+2^x-6＞0，即2^x＞2或2^x＜-3（舍）
所以x＞1即为所求．

点评：抽象函数涉及到函数的奇偶性、单调性等性质时，一般从定义入手进行分析，同是本题还考查了赋值法的应用．