Question

已知S_n是数列{a_n}的前n项和，对任意的n∈N^*，点（n，S_n）在函数y=

4x-1

3

的图象上，曲线y=4x²+4x在x=n处的切线斜率为k=c_n
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）若b_n=a_n•c_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：导数的综合应用,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由点（n，S_n）在函数y=

4x-1

3

的图象上得到Sn=

1

3

(4n-1)，然后结合a_n=S_n-S_n-1求得an=4n-1；
（Ⅱ）由y=4x²+4x，得y′|_x=n=8n+4，即c_n=8n+4，把a_n、c_n代入b_n=a_n•c_n后利用错位相减法求数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵点（n，S_n）在函数y=

4x-1

3

的图象上，∴Sn=

1

3

(4n-1)，
当n=1时，a₁=S₁=1；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

1

3

(4n-1)-

1

3

(4n-1-1)=4^n-1．
当n=1时上式成立，
∴an=4n-1；
（Ⅱ）由y=4x²+4x，得y′|_x=n=8n+4，即c_n=8n+4．
b_n=a_n•c_n=（2n+1）•4ⁿ．
∴Tn=3•41+5•42+…+(2n+1)•4n，
4Tn=3•42+5•43+…+(2n-1)•4n+(2n+1)•4n+1，
两式作差得：-3Tn=12+2(42+43+…+4n)-(2n+1)•4n+1
=12+2•

16(1-4n-1)

1-4

-(2n+1)•4n+1=

4

3

-(2n+

1

3

)•4n+1．
∴Tn=(

2n

3

+

1

9

)•4n+1-

4

9

．

点评：本题考查了数列递推式，考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．