统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为:.已知甲、乙两地相距100千米.
(I)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?
(Ⅱ)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?
(I)17.5;(Ⅱ)80千米/小时,11.25升.
解析试题分析:(I)将代入得到每小时的耗油量,再根据路程算出行驶时间,从而得到了从甲地到乙地的耗油量;(Ⅱ)设耗油量为升,通过每小时的耗油量及行驶时间得到的表达式.再通过求导研究其单调性,从而得到时的最小值.即得当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升.
试题解析:(I)当时,汽车从甲地到乙地行驶了小时,
要耗油(升).
答:当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油17.5升.
(II)当速度为x千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了小时,设耗油量为升,
依题意得,令,得.
当x∈(0,80)时,h'(x)<0,h(x)是减函数;
当x∈(80,120)时,h'(x)>0,h(x)是增函数.∴当x=80时,h(x)取到极小值h(80)=11.25.
因为h(x)在(0,120]上只有一个极值,所以它是最小值.
答:当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升. 13分
考点:1.函数的单调性;2.利用导数研究函数单调性;3.函数的最值.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数.
(1) 当时,函数恒有意义,求实数a的取值范围;
(2) 是否存在这样的实数a,使得函数在区间上为增函数,并且的最大值为1.如果存在,试求出a的值;如果不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
定义在上的函数同时满足以下条件:①函数在上是减函数,在上是增函数;②是偶函数;③函数在处的切线与直线垂直.
(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)设,若存在使得,求实数的取值范围.
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