Question

17．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，若$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$垂直于y轴，且满足|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=1，$\overrightarrow{b}$=（2，-1），则$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$方向上的投影为-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$或-$\frac{7\sqrt{10}}{10}$．

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{a}$=（m，n），由题意可得n=1，再由向量的模的公式，可得m=-1或-3，再由$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$方向上的投影为$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|}$，计算即可得到所求．

解答 解：设$\overrightarrow{a}$=（m，n），由$\overrightarrow{b}$=（2，-1），
$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$垂直于y轴，可得n=1，
又|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=1，可得|m+2|=1，
解得m=-1或-3，
即有$\overrightarrow{a}$=（-1，1）或（-3，1），
则$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$方向上的投影为$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{-2-1}{\sqrt{2}}$=-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$；
或$\frac{-6-1}{\sqrt{10}}$=-$\frac{7\sqrt{10}}{10}$．
故答案为：-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$或-$\frac{7\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题考查向量的投影的求法，注意运用向量的数量积和模的公式，考查运算能力，属于中档题．