Question

如图，在三棱锥A-BCD中，AB=CD=6，AC=BD=8，BC=10，且A在平面BCD上的投影O恰好在BD上．
（1）求证：AB⊥CD；
（2）求证：AB⊥面ACD；
（3）求三棱锥A-BCD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知中A在平面BCD上的投影O恰好在BD上，可得平面ABD⊥平面BCD，进而由勾股定理可得CD⊥BD，则CD⊥平面ABD，最后AB⊥CD；
（2）由勾股定理可得AB⊥AC，结合（1）中结论及线面垂直的判定定理可得AB⊥面ACD；
（3）根据（2）可得AB⊥AD，由勾股定理和等积法，求出AO的长，即棱锥的高，进而可得三棱锥A-BCD的体积．

解答： 证明：（1）∵A在平面BCD上的投影O恰好在BD上．
∴AO⊥平面BCD，
又∵AO?平面ABD，
∴平面ABD⊥平面BCD，
又∵CD=6，BD=8，BC=10，
∴CD⊥BD，
又∵平面ABD∩平面BCD=BD，CD?平面BCD，
∴CD⊥平面ABD，
又∵AB?平面ABD，
∴AB⊥CD；

（2）∵AB=6，AC=8，BC=10，
∴AB⊥AC，
又∵AC∩CD=C，AC，CD?面ACD，
∴AB⊥面ACD；
（3）∵AD?面ACD；
∴AB⊥AD，
∴AD=

BD2-AB2

=2

7

，
∴AO=

AB•AD

BD

=

3 7

2

，
故三棱锥A-BCD的体积V=

1

3

×

1

2

×6×8×

3 7

2

=12

7

点评：本题考查的知识点是面面垂直的判定定理，面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理，线面垂直的性质定理，棱锥的体积，熟练掌握空间线线垂直，线面垂直与面面垂直的转化关系是解答的关键．