Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=2

3

，AB=1，AD=2，AM⊥PD，垂足为M
（Ⅰ）证明：平面ACM⊥平面PCD；
（Ⅱ）求三棱锥M-PAC的高．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,棱锥的结构特征

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）先证明CD⊥AM，由AM⊥平面PCD，即可证明平面ACM⊥平面PCD；
（Ⅱ）先证明AM为三棱锥M-PAC的高，可求得∠DPA=30°，从而有AM=

1

2

PA=

3

．

解答： 证明：（Ⅰ）∵四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，
∴CD⊥AD，CD⊥AP
∵AD∩AP=P
∴CD⊥平面PAD
∵CM?平面PAD
∴CD⊥AM
∵AM⊥PD，CD∩PD=D
∴AM⊥平面PCD
∵AM?平面ACM
∴平面ACM⊥平面PCD；
（Ⅱ）由（Ⅰ）已证明CD⊥AM，AM⊥PD
∴AM⊥PC
∴AM为三棱锥M-PAC的高．
∵PA=2

3

，AB=1，AD=2，
∴PD=4，∠DPA=30°，
∴AM=

1

2

PA=

3

．
∴三棱锥M-PAC的高为

3

．

点评：本题主要考察了平面与平面垂直的判定，棱锥的结构特征，属于基本知识的考查．