Question

已知⊙C₁：x²+y²-6x-2y+6=0，⊙C₂：x²+y²-2x-4y+4=0，试在两圆公共弦所在直线上求一点P，使P到两圆的切线长为3．

Answer 1

考点：圆的切线方程

专题：直线与圆

分析：由题意求出圆心坐标和半径，将两圆方程相减得公共弦所在直线方程，设出P的坐标，根据切线长公式列出方程，求出x的值，代入直线方程求出y，即求出点P的坐标．

解答： 解：由题意得，⊙C₁：x²+y²-6x-2y+6=0，⊙C₂：x²+y²-2x-4y+4=0，
所以C₁（3，1），半径r₁=2，C₂（1，2），r₂=1，
将两圆方程相减得，公共弦所在直线方程为4x-2y-2=0，即2x-y-1=0，
所以设P（x，2x-1），
因为P到两圆的切线长为3，
所以由勾股定理得，（x-3）²+（2x-1-1）²-4=（x-1）²+（2x-1-2）²-1=9
解得，x=0 或 x=

14

5

，代入2x-y-1=0，解得y=-1或

23

5

，
因此，所求P的坐标为（0，-1）或（

14

5

，

23

5

）．

点评：本题考查两圆相交时公共弦所在直线方程，以及切线长公式，属于中档题．