Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1过点（2，3），且一条渐近线的倾斜角为

π

3

．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）设双曲线C的左顶点为A₁，右焦点为F₂，P为双曲线C右支上一点，求

PA1

•

PF2

的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）把点的坐标代入双曲线方程，由渐近线的倾斜角为

π

3

得到a，b的关系，联立方程组求得a，b的值，则
双曲线C的方程；
（Ⅱ）由双曲线的方程求得左顶点和右焦点的坐标，设出P的坐标，求出对应向量的坐标，代入数量积整理，配方后由P得横坐标的范围得答案．

解答： 解：（Ⅰ）∵双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1过点（2，3），
∴

4

a2

-

9

b2

=1    ①，
又一条渐近线的倾斜角为

π

3

，即

b

a

=tan

π

3

=

3

    ②，
联立①②得：a²=1，b²=3．
∴双曲线C的方程为x2-

y2

3

=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：A₁（-1，0），F₂（2，0），
设P（x₀，y₀），
则

PA1

=(-1-x0，-y0)，

PF2

=(2-x0，-y0)，
∴

PA1

•

PF2

=(-1-x0)(2-x0)+y02
=x02-x0+y02-2=4x02-x0-5=4(x0-

1

8

)2-

81

16

，
∵x₀≥1，
∴当x₀=1时，

PA1

•

PF2

有最小值为-2．

点评：本题考查了双曲线方程的求法，考查了平面向量的数量积运算，训练了利用配方法求函数的最值，是中档题．