Question

如图，三棱锥V-ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，AB=4，AD=BD，VA=VB=

13

，BC=

29

，VC=4．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求证：VC⊥平面ABV．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由VO⊥平面ABC，得到VO⊥AB，连接VD，只要证明AB⊥平面VCD即可；
（2）由（1）可得VC⊥AB，再由计算证明VC⊥VD，利用线面垂直的判定定理证明．

解答： 证明：（1）∵VO⊥平面ABC，∴VO⊥AB，连接VD，∵AD=BD，VA=VB，∴AB⊥VD，∴AB⊥平面VCD，∴AB⊥CD；
（2）∵AB=4，AD=BD=2，VA=VB=

13

，BC=

29

，VC=4．AB⊥CD，∴CD=

BC2-BD2

=5，VD=

VA2-AD2

=3，
∴VD²+VC²=CD²，∴VC⊥VD，
由（1）知VC⊥AB，由AB∩VD=D，
∴VC⊥平面ABV．

点评：本题考查了三棱锥中线线垂直和线面垂直的判定定理的运用，体现了转化的思想．