Question

已知正项数列{a_n}中a₁=2，点在函数的导函数y=f'（x）图象上，数列{b_n}中，点（b_n，S_n）在直线上，其中S_n是数列{b_n}的前n项和（n∈N^*）
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{c_n}满足，且数列{c_n}的前n项和T_n，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由函数，知f′（x）=x²+1，由正项数列{a_n}中，点在函数的导函数y=f'（x）图象上，知a_n+1=a_n+1，由此能求出数列{a_n}的通项公式；数列{b_n}中，点（b_n，S_n）在直线上，故，由此能求出数列{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）由==，知，用错位相减法能够证明-（n+1）×≤．
解答：（Ⅰ）解：∵函数，
∴f′（x）=x²+1，
∵正项数列{a_n}中，点在函数的导函数y=f'（x）图象上，
∴a_n+1=a_n+1，
∵a₁=2，
∴a_n=2+（n-1）=n+1．
∵数列{b_n}中，点（b_n，S_n）在直线上，
∴，①
∴，
解得b₁=2．
，②
①-②，得，
∴，
∴，
∴．
（Ⅱ）证明：∵==，
∴，
+…+，
∴-（n+1）×
=2+-（n+1）×
=2+--（n+1）×，
∴-（n+1）×≤．
点评：本题考查数列与函数的综合，考查数列通项公式的求法和数列前n项和的证明，解题时要认真审题，注意错位相减求和法的合理运用．