Question

14．设抛物线y²=4x的焦点为F，过点F作直线l与抛物线分别交于两点A，B，若点M满足$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$），过M作y轴的垂线与抛物线交于点P，若|PF|=2，则M点的横坐标为3．

Answer 1

分析 根据已知条件M是AB中点，设出A和B的坐标及直线方程，并将直线方程代入椭圆方程得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系，表示出x₁+x₂和x₁•x₂，并求出P点坐标，根据|PF|=2，求得k的值，即可求得M点的横坐标．

解答 解：由题意可知：抛物线y²=4x的焦点为F，准线为x=-1，M是AB的中点，
设A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），直线AB的方程为y=k（x-1），
将直线方程代入抛物线方程消去y得：k²x²-（2k²+4）+k²=0，
由根与系数的关系：x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，x₁•x₂=1，
又设P（x₀，y₀），y₀=$\frac{1}{2}$（y₁+y₂）=$\frac{1}{2}$[k（x₁-1）+k（x₂-1）]=$\frac{2}{k}$，
∴x₀=$\frac{1}{{k}^{2}}$，
∴P（$\frac{1}{{k}^{2}}$，$\frac{2}{k}$），
|PF|=x₀+1=$\frac{1}{{k}^{2}}$+1=2，
∴k²=1，
∴M点的横坐标为3，
故答案为：3．

点评 本题考查抛物线的性质和应用及根与系数的关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，积累解题方法，属于中档题．