Question

已知双曲线C：2x²－y²=2与点P(1，2)

(1)求过P(1，2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点.
(2)若Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在.

Answer 1

（1）当k=±,或k=，或k不存在时，l与C只有一个交点；当＜k＜,或－＜k＜,或k＜－时，l与C有两个交点；当k＞时，l与C没有交点.
（2）Q为中点的弦不存在.

(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线C有一个交点.当l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2=k(x－1),代入C的方程，并整理得
(2－k²)x²+2(k²－2k)x－k²+4k－6="0                                         "
(ⅰ)当2－k²=0,即k=±时，方程有一个根，l与C有一个交点
(ⅱ)当2－k²≠0,即k≠±时
Δ=［2(k²－2k)］²－4(2－k²)(－k²+4k－6)=16(3－2k)
①当Δ=0,即3－2k=0,k=时，方程有一个实根，l与C有一个交点.
②当Δ＞0,即k＜,又k≠±,故当k＜－或－＜k＜或＜k＜时，方程有两不等实根，l与C有两个交点.
③当Δ＜0，即k＞时，方程无解，l与C无交点.
综上知：当k=±,或k=，或k不存在时，l与C只有一个交点；
当＜k＜,或－＜k＜,或k＜－时，l与C有两个交点；
当k＞时，l与C没有交点.
(2)假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)，则2x₁²－y₁²=2,2x₂²－y₂²=2两式相减得：2(x₁－x₂)(x₁+x₂)=(y₁－y₂)(y₁+y₂)
又∵x₁+x₂=2,y₁+y₂=2
∴2(x₁－x₂)=y₁－y₁
即k_AB==2
但渐近线斜率为±,结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在.