Question

如图所示,过双曲线x²-=1的右焦点作直线与双曲线交于A、B两点,若OA⊥OB(O为坐标原点),求AB所在直线的方程.

Answer 1

直线方程为y=±(x-2).

设A、B两点的坐标分别为(x₁,y₁)、(x₂,y₂),双曲线x²-=1的右焦点为F(2,0),因此,直线AB过点(2,0),当直线AB垂直于x轴时,把x₁=x₂=2代入双曲线方程,得y₁=3,y₂=-3,此时OA不垂直于OB,不合题意;当AB不垂直于x轴时,设其斜率为k,方程为y=k(x-2),代入双曲线方程,整理得(3-k²)x²+4k²x-4k²-3=0,∴x₁x₂=,x₁+x₂=.                ①
∴y₁y₂=k(x₁-2)·k(x₂-2)=k²［x₁x₂-2(x₁+x₂)+4］.∵OA⊥OB,∴=-1(显然x₁≠0,x₂≠0),
即x₁x₂+y₁y₂=0.∴x₁x₂+k²［x₁x₂-2(x₁+x₂)+4］=0,把①式代入得(k²+1)· -2k²· +4k²=0,
解得k²=,k=±,因此,所求直线方程为y=±(x-2).