【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2 ,E,F分别是AD,PC的中点.
(1)证明:PC⊥平面BEF;
(2)求平面BEF与平面BAP所成的锐二面角的余弦值.
【答案】
(1)证明:如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.
∵AP=AB=2,BC=AD=2 ,四边形ABCD是矩形,
∴A,B,C,D,P的坐标为A(0,0,0),B(2,0,0),
C(2,2 ,0),D(0,2 ,0),P(0,0,2).
又E,F分别是AD,PC的中点,∴E(0, ,0),F(1, ,1).
∴ =(2,2 ,﹣2), =(﹣1, ,1), =(1,0,1).
∴ =﹣2+4﹣2=0, =2+0﹣2=0.
∴ ⊥ , ⊥
∴PC⊥BF,PC⊥EF.又BF∩EF=F,
∴PC⊥平面BEF
(2)解:由(1)知平面BEF的一个法向量 = =(2,2 ,﹣2),
平面BAP的一个法向量 = =(0,2 ,0),∴ .
设平面BEF与平面BAP的夹角为θ,
则cosθ=|cos |= = = ,
∴平面BEF与平面BAP所成的锐二面角的余弦值为 .
【解析】(1)先建立适当的空间直角坐标系,再求得相关点的坐标,进而利用向量证明PC⊥BF,PC⊥EF,进而证得PC⊥平面BEF;(2)两个平面法向量所成夹角的余弦值的绝对值为这两个平面所成的锐二面角,故求得两平面的法向量即可解题.
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的判定的相关知识,掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点.
(1)求证:AC⊥BC1;
(2)求证:AC1∥平面CDB1;
(3)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在△ABC中,角A,B,C对应的边分别是a,b,c,已知cos2A﹣3cos(B+C)=1.
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)若△ABC的面积S=5 ,b=5,求sinBsinC的值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,四棱锥的底面是菱形,,平面,是的中点.
(1)求证:平面平面;
(2)棱上是否存在一点,使得平面?若存在,确定的位置并加以证明;若不存在,请说明理由.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com