Question

8．△ABC中，b-a=c-b=1，且C=2A，则cosC=$\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 由C=2A，可得sinC=2sinAcosA，根据正弦定理可得cosA=$\frac{c}{2a}$，由余弦定理cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，从而可得$\frac{c}{2a}$=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，即c²（b-a）=a（b+a）（b-a），又由b-a=c-b=1，可得a=b-1，c=b+1，即可解得b，a，c的值，由余弦定理即可解得cosC的值．

解答 解：∵C=2A，
∴sinC=sin2A=2sinAcosA，
∵根据正弦定理可得：c=2acosA，即：cosA=$\frac{c}{2a}$，
∴根据余弦定理：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，
∴$\frac{c}{2a}$=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，整理可得：bc²=a（b²+c²-a²），
∴可得：c²（b-a）=a（b+a）（b-a），
又∵b-a=c-b=1，可得：a=b-1，c=b+1，
∴（b+1）²=（b-1）（2b-1），
∴b²-5b=0，
∴解得：b=5，a=4，c=6，
∴由余弦定理可得：cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{16+25-36}{2×4×5}$=$\frac{1}{8}$．
故答案为：$\frac{1}{8}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．