Question

17．已知不等式x²-bx+c＞0的解集为{x|x＞1或x＜-1}
（1）求b和c；
（2）求解不等式ax²-（b+1-ca）x-c≤0．

Answer 1

分析 （1）由一元二次不等式与对应的一元二次方程的关系，结合根与系数的关系，进行解答即可，
（2）需要分类讨论，即可得到不等式的解集．

解答 解：（1）因为不等式x²-bx+c＞0的解集为{x|x＞1或x＜-1}，
∴-1和1是方程x²-bx+c=0的两个根，
∴-1+1=b，1×（-1）=c，
解得：b=0，c=-1，
（2）由（1）可得不等式ax²-（b+1-ca）x-c≤0为ax²+（1+a）x+1≤0，即为（ax+1）（x+1）≤0
当a=0时，x≤-1，即不等式解集为{x|x≤-1}，
当a＞0时，即不等式化为（x+$\frac{1}{a}$）（x+1）≤0，
当0＜a＜1时，即$\frac{1}{a}$＞1，解得-$\frac{1}{a}$≤x≤-1，即不等式的解集为{x|-$\frac{1}{a}$≤x≤-1}，
当a=1是，不等式的解为x=-1，即不等式的解集为{x|x=-1}，
当a＞1时，即$\frac{1}{a}$＜1，解得-1≤x≤-$\frac{1}{a}$，即不等式的解集为{x|-1≤x≤-$\frac{1}{a}$}，
当a＜0时，即不等式化为（x+$\frac{1}{a}$）（x+1）≥0，
解得x≥-$\frac{1}{a}$或x≤-1，即不等式的解集为{x|x≥-$\frac{1}{a}$或x≤-1}．

点评 本题考查二次不等式的解法，考查二次方程和二次不等式的关系，考查韦达定理的运用，考查运算能力，属于中档题．