Question

1．命题P：函数f（x）=x²-2ax+2在区间[0，1]上有且只有一个零点；命题Q：y=a^x（a＞0，a≠1）是R上的增函数，
（1）若f（1）=0，求a的值；
（2）若“P或Q”为真，“P且Q”为假，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（1）=0，可得1-2a+2=0，解得a即可．
（2）命题P：由f（0）=2＞0，函数f（x）在区间[0，1]上有且只有一个零点．a≤0时，f（x）=x²+2＞0，因此此时函数f（x）在区间[0，1]上无零点；因此$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{f（1）≤0}\end{array}\right.$，解出即可得出．命题Q：y=a^x（a＞0，a≠1）是R上的增函数，可得a＞1．由于“P或Q”为真，“P且Q”为假，P与Q必然一真一假．

解答 解：（1）∵f（1）=0，∴1-2a+2=0，解得a=$\frac{3}{2}$．
（2）命题P：∵f（0）=2＞0，函数f（x）=x²-2ax+2（x-a）²+2-a²在区间[0，1]上有且只有一个零点，
a=0时，f（x）=x²+2＞0，因此此时函数f（x）在区间[0，1]上无零点；
a＜0时，可知：函数f（x）在区间[0，1]上无零点．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{f（1）≤0}\end{array}\right.$，
解得a$≥\frac{3}{2}$．
命题Q：y=a^x（a＞0，a≠1）是R上的增函数，∴a＞1．
∵“P或Q”为真，“P且Q”为假，
∴P与Q必然一真一假，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≥\frac{3}{2}}\\{0＜a＜1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＜\frac{3}{2}}\\{a＞1}\end{array}\right.$，
解得$1＜a＜\frac{3}{2}$．
∴a的取值范围是$1＜a＜\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了简易逻辑的判定方法、函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．