Question

20．已知数列{a_n}满足：a₁=2，a_n+1-2a_n=2ⁿ⁺¹（n∈N^*）．
（I）求证：数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（II）若b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$•cos（n+1）π，求数列{b_n}的前项和S_n．

Answer 1

分析 （I）化简可得$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1，从而证明数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以1为首项，1为公差的等差数列，再求通项公式即可；
（II）化简b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$•cos（n+1）π=ncos（n+1）π，从而可得S_n=1-2+3-4=…+（-1）ⁿ⁺¹n，故分类讨论即可．

解答 解：（I）∵a_n+1-2a_n=2ⁿ⁺¹，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以1为首项，1为公差的等差数列，
故$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=n，
故a_n=n•2ⁿ；
（II）b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$•cos（n+1）π=ncos（n+1）π，
故S_n=1-2+3-4=…+（-1）ⁿ⁺¹n，
 当n为偶数时，
S_n=1-2+3-4=…-n=-$\frac{n}{2}$；
当n为奇数时，
S_n=1-2+3-4=…+n=-$\frac{n-1}{2}$+n=$\frac{n+1}{2}$；
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{n}{2}，n为偶数}\\{\frac{n+1}{2}，n为奇数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等差数列的判断与应用，同时考查了构造法与分类讨论的思想方法应用．