Question

2．已知矩阵$A=[{\begin{array}{l}2&a\\ 2&1\end{array}}]（{a∈R}）$的一个特征值为-1，求矩阵A的另一个特征值及对应的特征向量．

Answer 1

分析 写出矩阵的特征多项式，利用特征值求出a，再回代到方程f（λ）=0即可解出另一个特征值为λ=4．最后利用求特征向量的一般步骤，可求出其对应的一个特征向量．

解答 解：矩阵的特征多项式是f（λ）=（λ-2）（λ-1）-2a，
由f（-1）=0得a=3，即f（λ）=λ²-3λ-4，
令f（λ）=0，则λ=-1或λ=4，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{（λ-2）x-3y=0}\\{-2λ+（λ+1）y=0}\end{array}\right.$，可得2x-3y=0，
所以矩阵A的另一个特征值是4，属于4的一个特征向量是$[\begin{array}{l}{3}\\{2}\end{array}]$．

点评 本题给出含有字母参数的矩阵，在知其一个特征值的情况下求另一个特征值和相应的特征向量，考查了特征值与特征向量的计算的知识，属于基础题．