Question

【题目】已知函数．

（1）判断函数的单调性；

（2）若对任意时，都有，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，为常量函数，不存在单调性；当时，函数在上单调递增，在上单调递减；（2）．

【解析】

（1）要判断函数的单调性，需求导数，对进行讨论；

（2）由，得， 令，计算，然后分，，三种情况讨论即可.

解：（1）函数的定义域为，

，

当时，令，得；

令，得，

故函数在上单调递减，在上单调递增；

当时，为常量函数，不存在单调性；

当时，令，得；

令，得，

故函数在上单调递增，在上单调递减．

（2）由，

得，

得，

得，

得，

令，

则．

由题意知，，则有，所以．

①若，则当时，，在上单调递减，

而，不满足；

②若，当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增，

故在上的最小值为．

由题意得，

解得，所以；

③若，则当时，，在上单调递增，又，

故时，恒成立．

综上，实数a的取值范围是