Question

19．（1-x²）⁴（$\frac{x+1}{x}$）⁵的展开式中$\frac{1}{x}$的系数为（　　）

• A． 5
• B． 11
• C． -21
• D． -29

Answer 1

分析 根据题意，化（1-x²）⁴（$\frac{x+1}{x}$）⁵=（1-x²）⁴（1+$\frac{1}{x}$）⁵，得出展开式中$\frac{1}{x}$的系数是由（1-x²）⁴中的常数项、含x²、x⁴的系数分别与（1+$\frac{1}{x}$）⁵的展开式中含$\frac{1}{x}$、$\frac{1}{{x}^{3}}$、$\frac{1}{{x}^{5}}$的系数乘积的和；由此求出结果．

解答 解：∵（1-x²）⁴（$\frac{x+1}{x}$）⁵=（1-x²）⁴（1+$\frac{1}{x}$）⁵，
其展开式中$\frac{1}{x}$的系数是由以下几部分的和；
（1-x²）⁴的常数项与（1+$\frac{1}{x}$）⁵的展开式中含$\frac{1}{x}$的系数的乘积；
（1-x²）⁴含x²的系数与（1+$\frac{1}{x}$）⁵的展开式中含$\frac{1}{{x}^{3}}$的系数的乘积；
（1-x²）⁴含x⁴的系数与（1+$\frac{1}{x}$）⁵的展开式中含$\frac{1}{{x}^{5}}$的系数的乘积；
∵（1-x²）⁴、（1+$\frac{1}{x}$）⁵的展开式中的通项公式分别为：
T_r+1=${C}_{4}^{r}$•（-x²）^r，T_s+1=${C}_{5}^{s}$•${（\frac{1}{x}）}^{s}$，
∴（1-x²）⁴（1+$\frac{1}{x}$）⁵的展开式中$\frac{1}{x}$的系数为：
${C}_{4}^{0}$•${C}_{5}^{1}$-${C}_{4}^{1}$•${C}_{5}^{3}$+${C}_{4}^{2}$•${C}_{5}^{5}$=-29．
故选：D．

点评 本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了二项式展开式的通项公式的应用问题，是基础题目．