Question

3．直角梯形ABEF中，BE∥AF，∠FAB=90°，AF=$\frac{3}{2}$BE=3AB=3，C，D分别是边BE，AF上的点（不是端点），且CD⊥AF，如图1所示；现沿CD把直角梯形ABEF折成一个120°的二面角，连接部分线段后围成一个空间几何体，如图2所示．
（1）求证：BE∥平面ADF；
（2）当四棱锥F-ABCD体积最大时，求平面ADF与平面BEF所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据面面平行的性质证明平面BCE∥平面ADF即可证明BE∥平面ADF；
（2）设AD=a，求出当四棱锥F-ABCD体积最大时，AD的值，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角的余弦值．

解答 （1）证明：在图2中，BC∥AD，CE∥DF，BC，CF?平面BCE，AD，DF?平面ADF，
且BC∩CE=C，
由面面平行判断定理的推论得：平面BCE∥平面ADF，
又BE?平面BCE，
∴BE∥平面ADF．
（2）过D作Dz⊥平面ABCD，由条件，
以D为原点，DA，DC，DZ分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系．
设AD=a，（0＜a＜2），则DF=3-a，
V_F-ABCD=$\frac{1}{3}$a（30-a）sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$a（3-a）≤$\frac{\sqrt{3}}{6}$（$\frac{a+3-a}{2}$）²=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$，
当且仅当a=3-a，即a=$\frac{3}{2}$时，四棱锥F-ABCD体积最大．
此时B（$\frac{3}{2}$，1，0），F（-$\frac{3}{4}$，0，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$），E（-$\frac{1}{4}$，1，$\frac{\sqrt{3}}{4}$），$\overrightarrow{BF}$=（-$\frac{9}{4}$，-1，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$），$\overrightarrow{BE}$=（-$\frac{7}{4}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{4}$），
设平面BEF的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则：
$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{BF}$=-$\frac{9}{4}$x-y+$\frac{3\sqrt{3}}{4}$z=0，$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{BE}$=-$\frac{7}{4}$x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$z=0，取x=$\sqrt{3}$，
则y=3$\sqrt{3}$，z=7，所以$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$，7），
平面ADF的法向量为$\overrightarrow{AB}$=（0，1，0），
所以平面ADF与平面BEF所成的锐二面角的余弦值为：
cosθ=|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{AB}$＞|=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{AB}|}$=$\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{79}}$=$\frac{3\sqrt{227}}{79}$．

点评 本题主要考查线面平行的判定以及二面角的求解，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决二面角常用的方法，综合性较强，运算量较大．